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\subsection{对数}\label{subsec:13-1}

我们已经学过了指数， 现在%“现在”二字，在原书中不可见，是根据上下文补填的内容。
来学习与指数有紧密联系的对数。

我们知道，$2$ 的 $4$ 次幂等于 $16$，可以记作
$$ 2^4 = 16 \douhao $$
这里 $16$ 是 $2$ 的 $4$ 次幂，$2$ 是底数，$4$ 是指数。

在计算中，我们还会遇到相反的问题：$2$ 的多少次幂等于 $16$？
为了表示 $16$ 是 $2$ 的多少次幂，我们采用一个新的式子：
$$ \log_{2}{16} = 4 \douhao $$
这里 $4$ 叫做以 $2$ 为底的 $16$ 的对数，$2$ 仍叫做底数，$16$ 叫做真数。

一般地说，如果 $a \; (a > 0, \; a \neq 1)$ 的 $b$ 次幂等于 $N$，就是 $a^b = N$，
数 $b$ 就叫做以 $a$ 为底的 $N$ 的\zhongdian{对数}，记作 $\log_{a}{N} = b$\;\footnote{“log”是拉丁文的 logarithm（对数）的缩写。}，
其中 $a$ 叫做\zhongdian{底数}（简称\zhongdian{底}），$N$ 叫做\zhongdian{真数}。

在实数范围内，正数的任何次幂都是正数。
在 $a^b = N$ 中，因为 $a$ 是不等于 $1$ 的正数，所以对于任意一个实数 $b$，
$N$ 总是正数，也就是说零与负数没有对数。

本章对数式中的字母，如不加特殊说明，底数都是不等于 $1$ 的正数，真数都是正数。

指数式 $a^b = N$ 中的底数、指数、幂与对数式 $\log_{a}{N} = b$ 中的底数、对数、真数的关系可表示如下：

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \input{../pic/czds4-ch13-a}
\end{figure}


如果把 $a^b = N$ 中的 $b$ 写成  $\log_{a}{N}$，就有
$$ a^{\log_{a}{N}} = N \juhao $$

例如在 $2^4 = 16$ 中，如果把 $4$ 写成 $\log_{2}{16}$，就有
$$ 2^{\log_{2}{16}} = 16 \juhao $$

\begin{enhancedline}
\liti 把下列指数式写成对数式：
\begin{xiaoxiaotis}

    \hspace*{1.5em} \begin{tblr}{columns={12em, colsep=0pt}}
        \xxt{$5^4 = 625$；} & \xxt{$3^{-2} = \dfrac{1}{9}$。}
    \end{tblr}

\resetxxt
\jie \begin{tblr}{columns={12em, colsep=0pt}}
    \xxt{$\log_{5}{625} = 4$；} & \xxt{$\log_{3}{\dfrac{1}{9}} = -2$。}
\end{tblr}
\end{xiaoxiaotis}


\liti 把下列对数式写成指数式：
\begin{xiaoxiaotis}

    \hspace*{1.5em} \begin{tblr}{columns={12em, colsep=0pt}}
        \xxt{$\log_{2}{8} = 3$；} & \xxt{$\log_{10}{10000} = 4$。}
    \end{tblr}

\resetxxt
\jie \begin{tblr}{columns={12em, colsep=0pt}}
    \xxt{$2^3 = 8$；} & \xxt{$10^4 = 10000$。}
\end{tblr}
\end{xiaoxiaotis}


\liti 已知 $\log_{10}{N} = -2$，求 $N$。

\jie 由 $\log_{10}{N} = -2$，得 $10^{-2} = N$。所以
$$ N = \dfrac{1}{100} \juhao $$


\liti 求下列各式的值：
\begin{xiaoxiaotis}

    \hspace*{1.5em} \begin{tblr}{columns={12em, colsep=0pt}}
        \xxt{$\log_{9}{81}$；} & \xxt{$\log_{3}{\dfrac{1}{27}}$。}
    \end{tblr}

\resetxxt
\jie \xxt{设 $\log_{9}{81} = x$，则 $9^x = 81$。 \\
    $\because \quad 9^2 = 81$， \\
    $\therefore \quad x = 2$。 \\
    即 \quad $\log_{9}{81} = 2$。
}

\hspace*{1.5em} \xxt{设 $\log_{3}{\dfrac{1}{27}} = x$，则 $3^x = \dfrac{1}{27}$。 \\
    $\because \quad 3^{-3} = \dfrac{1}{27}$， \\[.5em]
    $\therefore \quad x = -3$。 \\[.5em]
    即 \quad $\log_{3}{\dfrac{1}{27}} = -3$。
}

\end{xiaoxiaotis}
\end{enhancedline} \jiange

\liti 求下列各式的值：

\begin{xiaoxiaotis}

    \hspace*{1.5em} \begin{tblr}{columns={12em, colsep=0pt}}
        \xxt{$\log_{4}{4}$；} & \xxt{$\log_{7}{1}$。}
    \end{tblr}

\resetxxt
\jie \xxt{设 $\log_{4}{4} = x$，则 $4^x = 4$。 \\
    $\because \quad 4^1 = 4$， \\
    $\therefore \quad x = 1$。 \\
    即 \quad $\log_{4}{4} = 1$。
}

\hspace*{1.5em} \xxt{设 $\log_{7}{1} = x$，则 $7^x = 1$。 \\
    $\because \quad 7^0 = 1$， \\
    $\therefore \quad x = 0$。 \\
    即 \quad $\log_{7}{1} = 0$。
}

\end{xiaoxiaotis}


例 5 可以推广到一般情况，设 $a$ 是不等于 $1$ 的正数，则
\begin{gather*}
    \bm{\log_{a}{a} = 1 \douhao} \\
    \bm{\log_{a}{1} = 0 \juhao}
\end{gather*}

根据对数的定义，同学们可以自己证明这两个等式。



\lianxi
\begin{xiaotis}

\xiaoti{把下列指数式写成对数式：}
\begin{xiaoxiaotis}

    \begin{tblr}{columns={12em, colsep=0pt}, rows={rowsep=0.5em}}
        \xxt{$2^5 = 32$；} & \xxt{$10^3 = 1000$；} & \xxt{$7^{-2} = \dfrac{1}{49}$；} \\
        \xxt{$10^0 = 1$；} & \xxt{$8^{\frac{2}{3}} = 4$；} & \xxt{$27^{-\frac{1}{3}} = \dfrac{1}{3}$。}
    \end{tblr}
\end{xiaoxiaotis}


\xiaoti{把下列对数式写成指数式：}
\begin{xiaoxiaotis}

    \begin{tblr}{columns={12em, colsep=0pt}}
        \xxt{$\log_{3}{9} = 2$；} & \xxt{$\log_{2}{\dfrac{1}{4}} = -2$；} & \xxt{$\log_{10}{0.001} = -3$；} \\
        \xxt{$\log_{8}{2} = \dfrac{1}{3}$；} & \xxt{$\log_{5}{5} = 1$；} & \xxt{$\log_{27}{\dfrac{1}{9}} = -\dfrac{2}{3}$。}
    \end{tblr}
\end{xiaoxiaotis}


\xiaoti{求下列各式的值：}
\begin{xiaoxiaotis}

    \begin{tblr}{columns={18em, colsep=0pt}}
        \xxt{$\log_{5}{25}$；} & \xxt{$\log_{2}{\dfrac{1}{16}}$；} \\
        \xxt{$\log_{10}{0.01}$；} & \xxt{$\log_{a}{a^5}$。}
    \end{tblr}
\end{xiaoxiaotis}


\xiaoti{求下列各式中的 $x$：}
\begin{xiaoxiaotis}

    \begin{tblr}{columns={18em, colsep=0pt}}
        \xxt{$\log_{2}{x} = 5$；} & \xxt{$\log_{\frac{1}{2}}{x} = -3$；} \\
        \xxt{$\log_{5}{x} = 1$；} & \xxt{$\log_{3}{x} = 0$。}
    \end{tblr}
\end{xiaoxiaotis}


\xiaoti{求下列各式的值：}
\begin{xiaoxiaotis}

    \begin{tblr}{columns={18em, colsep=0pt}}
        \xxt{$\log_{15}{15}$；} & \xxt{$\log_{0.4}{1}$；} \\
        \xxt{$\log_{9}{1}$；}   & \xxt{$\log_{3.7}{3.7}$。}
    \end{tblr}
\end{xiaoxiaotis}


\xiaoti{求下列各式的值：}
\begin{xiaoxiaotis}

    \begin{tblr}{columns={18em, colsep=0pt}}
        \xxt{$5^{\log_{5}{10}}$；} & \xxt{$0.2^{\log_{0.2}{5}}$。}
    \end{tblr}
\end{xiaoxiaotis}

\end{xiaotis}

